Análisis de principios y pensamientos de optimización de Binius STARKs
1. Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar codificación Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se convierte en una estrategia clave.
Como se muestra en la Tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta un gran espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.
En comparación con los dominios finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre dominios binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los dominios binarios se aplican ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el campo F2^8
Código de autenticación de mensajes de Galois ( GMAC ), basado en el campo F2^128
Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F2^8
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F2^8, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.
Al utilizar un dominio más pequeño, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en un dominio pequeño. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en una extensión de dominio más grande para garantizar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el campo binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, es necesario realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en este cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2. Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente suele incluir las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información )Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(: PIOP, como el núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Los diferentes protocolos PIOP, a través de la interacción con el validador, permiten que el probador envíe polinomios de manera gradual, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de un número reducido de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene un enfoque diferente para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico ) Polynomial Commitment Scheme, PCS (: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual, el probador puede comprometerse a un polinomio y verificar más tarde los resultados de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes son KZG, Bulletproofs, FRI ) Fast Reed-Solomon IOPP ( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
Halo2: combinando PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, basado en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y la eliminación del setup confiable en el protocolo ZCash.
Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable, y si puede admitir funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios )towers of binary fields( constituye la base de sus cálculos, permitiendo operaciones simplificadas dentro del dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo )PIOP(, asegurando la verificación de consistencia segura y eficiente entre variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia en la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, que proporciona flexibilidad y una sólida seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico en pequeños dominios )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de pruebas eficiente en el dominio binario y reduce los costos generalmente asociados con dominios grandes.
) 2.1 Campo Finito: Arithmetización basada en torres de campos binarios
Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, admiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, lo que significa que las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura en torre, hacen que los campos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de los elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número determinado de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede contenerse en 32 bits, no cada cadena de 32 bits puede corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen métodos de reducción especiales ( utilizados en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario, no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (^2 = X^2 + Y^2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede ser considerada como un elemento único en el campo binario de 128 bits, o puede ser interpretada como dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, es simplemente una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden ser empaquetados en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicación, elevación al cuadrado y operaciones de inversión en un campo de torre binario de n bits ) descompuesto en un subcampo de m bits (.
) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación clave para validar la corrección de polinomios y conjuntos de múltiples variables. Estas verificaciones clave incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de las permutaciones entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre varios conjuntos.
ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación del polinomio multivariable en un problema de evaluación de polinomios univariables, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten validar múltiples instancias de suma.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no nulo en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar este valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente las situaciones de división por cero, lo que impide afirmar el problema de que U no es cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesándose, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutaciones entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también establecen las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal------aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, que puede generar de manera efectiva.
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AllInDaddy
· 07-27 20:46
Ah, no entiendo esta optimización de Stark.
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GateUser-e51e87c7
· 07-26 04:42
La tecnología puede ser abrumadora. ¿Cuándo se incluirán imágenes?
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VirtualRichDream
· 07-25 03:17
La eficiencia es el camino a seguir.
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SatoshiChallenger
· 07-25 03:17
Los datos vuelven a engañar para financiación, ¿32bit todavía se desperdicia, verdad?
¿Cómo Binius optimiza la eficiencia de STARKs utilizando dominios binarios? Análisis de las 4 tecnologías clave.
Análisis de principios y pensamientos de optimización de Binius STARKs
1. Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar codificación Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se convierte en una estrategia clave.
Como se muestra en la Tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta un gran espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.
| Álgebra | Ancho de codificación | Implementación típica | |------|----------|----------| | Primera generación | 252bit | StarkWare | | Segunda generación | 64bit | Plonky2 | | Tercera generación | 32bit | Plonky3 | | Cuarta generación | 1bit | Binius |
En comparación con los dominios finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre dominios binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los dominios binarios se aplican ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Al utilizar un dominio más pequeño, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en un dominio pequeño. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en una extensión de dominio más grande para garantizar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el campo binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, es necesario realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en este cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2. Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente suele incluir las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información )Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(: PIOP, como el núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Los diferentes protocolos PIOP, a través de la interacción con el validador, permiten que el probador envíe polinomios de manera gradual, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de un número reducido de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene un enfoque diferente para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico ) Polynomial Commitment Scheme, PCS (: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual, el probador puede comprometerse a un polinomio y verificar más tarde los resultados de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes son KZG, Bulletproofs, FRI ) Fast Reed-Solomon IOPP ( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
Halo2: combinando PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, basado en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y la eliminación del setup confiable en el protocolo ZCash.
Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable, y si puede admitir funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios )towers of binary fields( constituye la base de sus cálculos, permitiendo operaciones simplificadas dentro del dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo )PIOP(, asegurando la verificación de consistencia segura y eficiente entre variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia en la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, que proporciona flexibilidad y una sólida seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico en pequeños dominios )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de pruebas eficiente en el dominio binario y reduce los costos generalmente asociados con dominios grandes.
) 2.1 Campo Finito: Arithmetización basada en torres de campos binarios
Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, admiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, lo que significa que las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura en torre, hacen que los campos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de los elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número determinado de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede contenerse en 32 bits, no cada cadena de 32 bits puede corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen métodos de reducción especiales ( utilizados en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario, no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (^2 = X^2 + Y^2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede ser considerada como un elemento único en el campo binario de 128 bits, o puede ser interpretada como dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, es simplemente una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden ser empaquetados en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicación, elevación al cuadrado y operaciones de inversión en un campo de torre binario de n bits ) descompuesto en un subcampo de m bits (.
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) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación clave para validar la corrección de polinomios y conjuntos de múltiples variables. Estas verificaciones clave incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de las permutaciones entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre varios conjuntos.
ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación del polinomio multivariable en un problema de evaluación de polinomios univariables, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten validar múltiples instancias de suma.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no nulo en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar este valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente las situaciones de división por cero, lo que impide afirmar el problema de que U no es cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesándose, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutaciones entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también establecen las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal------aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, que puede generar de manera efectiva.